抛物线y=ax^2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切，

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/22 14:54:58
在第一象限内与直线x+y=4相切，此抛物线与x轴围成的图形的面积记为S，求使S达到最大值的a.b的值，并求Smax...

y=ax^2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切
即 y=ax^2+bx=4-x恰有一个解 且x在(0,4)内
于是 ax^2+(b+1)x-4=0恰有一个解
(b+1)^2+16a=0
不妨设b+1=4m 于是a=-m方 解为2/m m>1/2
于是原抛物线为 y=-(mx)^2+(4m-1)x=-m方x(x-4/m+1/m方)
两根为x1=0 x2=(4m-1)/m方
于是S=积分(0到(4m-1)/m方) [-(mx)^2+(4m-1)x]= [-m^2x^3/3+(4m-1)x^2/2] (0到(4m-1)/m方)=-m^2[x2]^3/3+(4m-1)[x2]^2/2=(4m-1)x2^2/6
=(4m-1)^3/6m^4
求导知分子为 3(4m-1)^2 *4m^4-4m^3(4m-1)^3
去掉正公因式得到 3m-(4m-1)=1-m 于是S先增后减 在m=1时取到最大值
此时S=9/2 a=-1 b=3